8. Mai 2002

Brouwers Katze


  Katze und Maus
Brouwers Katze lebt in einem runden Raum, zusammen mit der Maus. Mit der Computermaus (!) steuern  Sie die Katze, um die Maus zu fangen. Kommen Sie ihr sehr nahe, dann färbt sich die Katze gelb, erwischen Sie die Maus, dann wird sie rot. Ein Druck auf den Knopf Polynom verändert die Strategie der Maus.  Spielen Sie ein wenig.


 



Bedeutung der Knöpfe

Auswahl unter verschiedenen Mausstrategien

Polynom (zufällig)
Gegenüber
Radial
Zweipunkt
Epizykel (zufällig)

Symbole
Wechsel zwischen zwei Darstellungen

Katze /Maus
Kreis /Kreuz

Kreis
Die Katze umkreist die Raummitte mit dem augenblicklichen Radius. Ein blauer Zeiger weist zum Zentrum, ein roter zur Maus. Die Zeiger werden auf einer kleinen Scheibe rechts oben wiederholt. 

Umgebung
Schaltet die Darstellung der Umgebung an und ab.
Die rote Fläche zeigt die möglichen Orte der Maus an, wenn sich die Katze im kleinen Kreis aufhält. Präziser: Die Bilder von 10 konzentrischen Kreisen werden rot angezeigt, das Bild des innersten Kreises blau.

Karte
Farbige Anzeige der Entfernung zur Maus für jeden Ort der Katze.
Die Berechnung dauert einige Sekunden.
 
 

 


Gegenüberstellung
Sie haben sicher bemerkt, daß die Position der Maus nur davon abhängt, wo die Katze gerade ist.  Sie können das bestätigen, indem Sie sich die Positionen beider Tiere merken und dann nach längeren Wegen zum Ort der Katze zurückkehren. Solch eine Zuordnung, die für jeden Katzenort einen Platz für die Maus festlegt, nennt man eine Abbildung des Kreises (Raum) in sich. Wenn die Katze die Maus fangen kann, dann muß sich die Maus einen Punkt ausgesucht haben, für den sie genau dort ist, wo auch die Katze ist. Das ist eine dumme Strategie der Maus, sie könnte ja einfach immer an den der Katze gegenüberliegenden Ort laufen. Wollen Sie es ausprobieren? Dann drücken Sie bitte auf Gegenüber statt Polynom und wiederholen Sie das Spiel.


Verbesserung dieser Strategie
Das war ein Trugschluß, der Mittelpunkt ist sein eigenes Gegenüber! So geht es also nicht, aber man kann ja diese Strategie ein wenig verbessern: Die Maus begibt sich wieder auf die gegenüberliegende Seite, aber wenn die Katze innen ist, geht die Maus an den Rand und umgekehrt. Ob diese Idee zum Erfolg führt, sehen Sie, wenn Sie Radial wählen.
Wem die Darstellung der Tiere nicht wissenschaftlich genug ist, der kann mit dem Knopf Symbole die Katze als Kreis und die Maus als Kreuz anzeigen lassen - und auch wieder zurückwechseln.


Stetigkeit
Jetzt scheint es zu klappen, die Maus ist nicht zu fassen. Leider ist diese Lösung aber nicht praktisch durchzuführen, wieder hapert es in der Mitte. Wenn die Katze nahe am Mittelpunkt ist, befindet sich die Maus an der Wand gegenüber. Bewegt sich die Katze nur um den Bruchteil eines Millimeters über den Mittelpunkt hinweg, dann muß sich die Maus quer durch den Raum begeben , sie brauchte eine unbegrenzt höhere Geschwindigkeit als die Katze. Mathematiker sagen dazu, daß der Ort der Maus nicht stetig vom Ort der Katze abhängt. Stetigkeit bedeutet: Kleine Bewegungen der Katze bewirken kleine Bewegungen der Maus. Deutlich wird das beim Drücken der Taste Umgebung. Ein kleiner Kreis wird um die Katze gezeichnet und eine rote Fläche zeigt, in welchem Bereich die Maus zu finden ist, solange die Katze in diesem Kreis bleibt. Geht die Katze zur Raummitte, dann wächst die rote Fläche um die Maus. Man beachte, daß der innerste Kreis nach außen abgebildet  wird!


Nochmals Stetigkeit
Auch die folgende Strategie scheitert an der fehlendenStetigkeit. Immer wenn die Katze in der rechten Hälfte ist, setzt sich die Maus auf einen Punkt in der Mitte der linken Hälfte und umgekehrt. Auszuprobieren mit Zweipunkt. Überschreitet die Katze die senkrechte Mittellinie, dann muß sich die Maus wieder blitzschnell durch den halben Raum bewegen. Das Umgebungsbild zeigt dann für den Mausbereich zwei getrennte Punkte an.


Geht es überhaupt?
Bei stetigen Abbildungen fand sich immer mindestens ein gemeinsamer Ort für Katze und Maus, ein sogenannter Fixpunkt. Der Verdacht liegt nahe, daß jede stetige Abbildung des Kreises in sich mindestens einen Fixpunkt hat. Der holländische Mathematiker L.E.J Brouwer (1881-1966) hat gezeigt, daß diese Vermutung stimmt.: Wir nehmen an es gäbe keinen Fixpunkt, wählen eine Polynom-Strategie und drücken auf Kreis. Die Katze umrundet dann einmal den Raum. Dabei weist ein blauer Zeiger ständig zum Zentrum, ein roter zur Maus. Uns interessiert, wieviele Umläufe der rote Zeiger macht in Abhängigkeit vom Bahnradius. Zum leichteren Zählen wird die Zeigerstellung auf einer festen, kleinen Scheibe rechts oben wiederholt. Dort wird auch der zurückgelegte Winkel des roten Zeigers angegeben, dieser wächst, wenn sich der Zeiger gegen den Uhrzeigersinn bewegt, bei der Gegenrechnung fällt er. Nach einem Umlauf der Katze ist auch die Maus wieder am Ursprungsort, der rote Zeiger muß also eine ganze Anzahl von Umdrehungen gemacht haben; nur folgende Winkel sind möglich: 0°, 360°, 720°, 1080° und so fort, oder für die Gegenrichtung -360°, -720°, -1080°.....
Läßt man dieKatze an der Außenwand laufen, dann weist der rote Zeiger immer ins Innere des Raumes, er kann sich nicht weiter als 90° vom blauen Zeiger entfernen und dieser macht offensichtlich genau einen Umlauf. Daher muß auch der rote Zeiger genau einen Umlauf machen. Das ist folgendem Vorgang ähnlich: Sie spazieren mit Ihrem Hund einmal um den Wall Ihrer Stadt, der Hund läuft vor und zurück, bleibt aber immer in Sichtweite. Welche Strecke der Hund auch zurücklegt, er vollendet nur einen Umlauf.
Das Bild des Mittelpunktes sei der Punkt B. Es ist vom Mittelpunkt verschieden, denn sonst wäre B  ein Fixpunkt entgegen der Annahme. Man kann also einen kleinen Kreis so um den Mittelpunk legen, daß B weit außerhalb liegt. Die Katze umeilt auch diesen Kreis, der rote Zeiger zeigt immer in die Nähe von B und wenn wir den Kreis nur klein genug machen, dann werden auch die Richtungsänderungen beim Umkreisen beliebig klein, beispielsweise kleiner als 10°. Da die Zahl der Umläufe aber eine ganze Zahl sein muß, kann der Gesamtwinkel nur 0° sein.
Zieht man den großen Kreis stetig auf den kleinen zusammen, dann ändert sich auch jeder Winkel stetig, denn da es nach unserer Annahme keine Fixpunkte gibt, ist die Richtung von der Katze zur Maus immer wohl bestimmt und sie ändert sich nur wenig, wenn sich die Position der Katze nur wenig ändert. Die Zahl der Umläufe ist daher eine stetige Funktion des Radius. Andrerseits kann sie nur ganzzahlige Werte annehmen und muß sich von 1 (außen) auf 0 (innen) verändern. Der Widerspruch ist nur lösbar, wenn man die Annahme, daß es keinen Fixpunkte gibt, fallen läßt.
Die Taste Karte erzeugt ein Diagramm, das für jeden Ort der Katze die Entfernung zur Maus farbig anzeigt Die Berechnung kann je nach Rechnergeschwindigkeit bis zu einer Minute dauern. Die Farben und Höhenlinien sind denen in Atlanten nachempfunden, große Entfernungen sind rot, kleine blau. Sie sind direkt von der angezeigten Skala abzulesen. Die Fixpunkte sind die tiefsten Stellen im blauen Meer.
Lassen Sie die Katze auf verschiedenen Bahnen kreisen, bei denen ein Fixpunkt mal innen, mal außen liegt. Beobachten Sie die Umläufe des roten Zeigers.  


Zur Mathematik
Dieser Beweis wurde dem Buch Courant and Robbins "What Is Mathematics?" entnommen. Für die Abbildung Polynom betrachte ich den Einheitskreis in der komplexen Ebene und wähle ein zufälliges Polynom dritten Grades. Realteil und Imaginärteil der Koeffizienten liegen im Intervall [-2,+2]. Wenn das Bild außerhalb des Kreises liegt, wird es am Einheitskreis gespiegelt  Man sieht schön, daß diese Abbildung konform ist, die konzentrischen Kreise um die Katze werden in Kreise um die Maus abgebildet -natürlich nur, wenn nicht gespiegelt wurde. Bei der Abbildung Epizykel kommen auch vielfache Umläufe des Zeigers vor.


Kritik, Fragen, Anregungen bitte an: Klaus Nagel

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